A bola descreveu uma parábola e, quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Lapiseira", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento.
A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir:
a) na baliza b) atrás do gol c) dentro do gol d) antes da linha do gol e) NDA
a) 64
b) 90
c) 60
d) 72
e) 56
Resolução: Atualmente Filho: x Pai: 4x Futuramente Filho: x + 5 Pai: 4x + 5 4x + 5 = 3 * (x + 5) 4x + 5 = 3x + 15 4x – 3x = 15 – 5 x = 10 Pai: 4x → 4 * 10 = 40 O filho tem 10 anos e o pai tem 40. Exemplo 4 O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número? Resolução 2x + 3x = 20 5x = 20 x = 20/5 x = 4 O número corresponde a 4. Exemplo 5 Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara. Galinhas: g Coelhos: c g + c = 35 Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então: 2g + 4c = 100 Sistema de equações Isolando c na 1ª equação: g + c = 35 c = 35 – g Substituindo c na 2ª equação: 2g + 4c = 100 2g + 4 * (35 – g) = 100 2g + 140 – 4g = 100 2g – 4g = 100 – 140 – 2g = – 40 g = 40/2 g = 20 Calculando c c = 35 – g c = 35 – 20 c = 15
Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente: 1xxxx => P4 = 4! = 24 2xxxx => P4 = 4! = 24 3xxxx => P4 = 4! = 24 41xxx => P3 = 3! = 6 42xxx => P3 = 3! = 6 431xx => P2 = 2! = 2 432xx => P2 = 2! = 2 4351x => P1 = 1! = 1 Somando todas elas: 24+24+24+6+6+2+2+1 = 89 Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.
Resposta: O número 43521 está na 90º posição.
Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos.
Números Racionais Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q). Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária. Um exemplo simples: Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5, temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata. É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a divisão não é exata. Um exemplo simples: Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita 0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica. Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros. Número racional A letra que representa os Números Racionais = Q Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3} O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “ 0”. Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)} Números Irracionais Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente (dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números. Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc. Um número irracional famoso é o PI () = 3,141592... O número de Euler = 2,71828 Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir) Números Reais Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e é indicado pela letra “R”. Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número racional é real, temos a seguinte sentença: N > Z > Q > R Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se o conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}. Números Primos Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética. Para os números inteiros podemos provar com facilidade que: 1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos). 2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1. Como podemos provar que um número é primo ou não? Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo.
Resposta:
O PROBLEMA SE RESOLVE DA SEGUINTE MANEIRA:
São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo. Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas: Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5: A6,5= 720 Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João. Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás. Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4: A6,4= 360 O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3: 3 x A6,4= 3 x 360 = 1080 O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João). Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!!
EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???
Resposta:
Tu TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y. Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x) , ou seja, eu TENHO 2x anos. ENTÃO: Tu TINHAS x e agora tem y. Eu TINHA y e agora tenho 2x. Portanto temos que: y-x = 2x-y 2y=3x x=(2/3)*y ENTÃO, substituindo o valor de x, temos: Tu TINHAS (2/3)*y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3)*y. Agora preste atenção na segunda frase:
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS.
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a tua idade y com mais (1/3)*y. Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y. Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja: Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y. A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: (4/3)*y + (5/3)*y=45 (9/3)*y=45 3y=45 y=15 No início descobrimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10. FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS. E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS. PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!! Aviso: diariamente recebemos e-mails de usuários dizendo que essa resposta está errada, pois somando as idades não obtemos 45. Porém, note que o enunciado não diz que a soma atual das idades é 45, mas sim que "Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será 45 anos", ou seja, quando o de 15 tiver 20, o de 20 já terá 25 (20+25=45).
O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de capital e desvalorização monetária davam a ideia de juros, pois isso acontecia em razão do valor momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através de operações matemáticas. Os sumérios registravam documentos em tábuas, como faturas, recibos, notas promissórias, operações de crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas e endossos.
Essas tábuas retratavam documentos de empresas comerciais e algumas eram utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso e medida. Havia tábuas para a multiplicação, inversos multiplicativos, quadrados, cubos e exponenciais. As exponenciais com certeza estavam diretamente ligadas aos cálculos relacionados a juros compostos; e as de inverso eram utilizadas na redução da divisão para a multiplicação.
Nessa época os juros eram pagos pelo uso de sementes e de outros bens emprestados, os agricultores realizavam transações comerciais com as quais adquiriam sementes para as suas plantações. Após a colheita, os agricultores realizavam o pagamento através de sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo. A forma de pagamento dos juros foi modificada para suprir as exigências atuais. No caso dos agricultores, era lógico que o pagamento seria feito na colheita seguinte. A relação tempo/ juros foi se ajustando de acordo com a necessidade de cada época. Atualmente, nas transações de empréstimos, o tempo é preestabelecido pelas partes negociantes.
Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo.α α α α α α α α α α
A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um α em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas. Representação toda perfeita em si de qualquer um dos lados que se observe.
Números perfeitos A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos: Os divisores de 6 são: 1, 2, 3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6. Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Teorema de Pitágoras
Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras. Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:
1^2 + 1^2 = x^2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2} Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".
A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.
02. A professora de Língua Portuguesa de Matheus, Roberta e Tamires, pediu que eles lessem um mesmo livro para a avaliação bimestral. Passados dez dias, Matheus havia lido 5/12 do livro, Roberta 7/20 e Tamires 6/15. Qual dos três leu mais páginas?
03. Ontem, dormi 1/4 das 24 horas do dia e estudei 1/6 do tempo que estive acordado. a) Que fração das 24 horas do dia representa o tempo que eu estive acordado? b) Que fração das 24 horas do dia representa o tempo que eu estudei? c) Quanto tempo eu estudei?
04. A Ana, a Sara, o Diogo e o Rui fizeram um trabalho de grupo para Ciências da Natureza. A Ana fez 2/5 do trabalho, a Sara fez 15% do trabalho e o Diogo o restante. a) Escreva a fração que representa a parte do trabalho feita pelo Diego. b) Calcule a porcentagem do trabalho feito pela Ana. c) Que numero decimal representa a porcentagem do trabalho feito por Sara?
05. Feira de Santana e Alagoinhas são cidades próximas de Salvador, a capital da Bahia. Suponha que de Salvador partam ônibus para Alagoinhas de 30 em 30 minutos, e para Feira, de 25 em 25 minutos. Suponha também que às 6 horas da manhã saíram juntos um ônibus para Feira e outro para Alagoinhas. Nessas condições, responda às perguntas: a) Quantos minutos depois das 6 horas os dois ônibus sairão juntos novamente pela primeira vez? b) A que horas do dia isso vai acontecer?
1) - João e Maria têm um jarro grande, cada, com um litro de água em cada um. No primeiro dia, João coloca 1 ml da água do seu jarro no jarro da Maria. No segundo dia, Maria coloca 2 ml da água do seu jarro no jarro do João. No terceiro dia, João coloca 3 ml da água do seu jarro no jarro da Maria, e assim por diante. Depois de 200 dias, quantos mililitros de água tem no jarro de Maria?
2- Ontem à noite, terminei de fazer a lista de convidados para o jantar que vou dar no próximo mês. Como haverá trinta pessoas, vou precisar tomar emprestadas algumas mesas de jogo, de tamanho que permita sentar-se uma pessoa de cada lado. Quero dispô-las numa longa fileira, encostadas umas nas outras , naturalmente, quero tomar emprestado o mínimo de mesas possível. De quantas mesas de jogo vou precisar?
3) - As pombas e o gavião O gavião chega no pombal e diz: - Adeus, minhas cem pombas. As pombas respondem em coro - Cem pombas não somos nós; com mais dois tantos de nós e com você, meu caro gavião, cem pássaros seremos nós. Quantas pombas estavam no pombal?
