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Matemática da Copa

Numa partida da Copa do Mundo, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Lapiseira" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol.

A bola descreveu uma parábola e, quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Lapiseira", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir:

a) na baliza

b) atrás do gol

c) dentro do gol

d) antes da linha do gol

e) NDA

Matemática da copa de 2014

As bolas de futebol clássicas são construídas com base em poliedros, que têm como faces 20 hexágonos e 12 pentágonos, todos regulares, conforme mostra a figura. O número de vértices do poliedro é: a) 64 b) 90 c) 60 d) 72 e) 56

Problemas Matemáticos

Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos. Nas séries iniciais os cálculos envolvem adições e subtrações; posteriormente, multiplicações e divisões.

Na 2ª fase do Ensino Fundamental os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

O dobro de um número adicionado com 4 → 2x + 4.

A soma de dois números consecutivos → x + (x + 1)

O quadrado de um número mais 10 → x² + 10

O triplo de um número adicionado ao dobro do número → 3x + 2x

A metade da soma de um número com 15 → (x + 15)/2

A quarta parte de um número → x/4

Exemplo 1

A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os.

1º número: x

2º número: x + 2

3º número: x + 4

( x )+(x + 2) + (x + 4) = 96

Resolução

x + x + 2 + x + 4 = 96

3x = 96 – 4 – 2

3x = 96 – 6

3x = 90

x = 90/3

x = 30

1º número: x → 30

2º número: x + 2 → 30 + 2 = 32

3º número: x + 4 → 30 + 4 = 34

Os números procurados são 30, 32 e 34.

Exemplo 2

O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:

Resolução:

3x + 4 = 5²

3x = 25 – 4

3x = 21

x = 21/3

x = 7

O número procurado é igual a 7.

Exemplo 3

A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:

Atualmente

Filho: x

Pai: 4x

Futuramente

Filho: x + 5

Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 * (x + 5)

4x + 5 = 3x + 15

4x – 3x = 15 – 5

x = 10

Pai: 4x → 4 * 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

Exemplo 4

O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?

Resolução

2x + 3x = 20

5x = 20

x = 20/5

x = 4

O número corresponde a 4.

Exemplo 5

Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: g

Coelhos: c

g + c = 35

Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:

2g + 4c = 100

Sistema de equações

Isolando c na 1ª equação:

g + c = 35

c = 35 – g

Substituindo c na 2ª equação:

2g + 4c = 100

2g + 4 * (35 – g) = 100

2g + 140 – 4g = 100

2g – 4g = 100 – 140

– 2g = – 40

g = 40/2

g = 20

Calculando c

c = 35 – g

c = 35 – 20

c = 15

Desafio - Permutação

CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521?

Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente:

1xxxx => P4 = 4! = 24

2xxxx => P4 = 4! = 24

3xxxx => P4 = 4! = 24

41xxx => P3 = 3! = 6

42xxx => P3 = 3! = 6

431xx => P2 = 2! = 2

432xx => P2 = 2! = 2

4351x => P1 = 1! = 1

Somando todas elas:

24+24+24+6+6+2+2+1 = 89

Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.

Resposta: O número 43521 está na 90º posição.

Teste - números primos

Teste Rápido para confirmar números primos:

Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que os números atinjam 25 dígitos.

O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um número é primo.

Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.

Um exemplo simples :

Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então, vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo, pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3 |323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0

Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos.

Conjunto dos números

Conjunto dos Números

Números Inteiros

O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos números inteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizer que os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteiros positivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos).

Assim os números inteiros são exemplos:

Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem o elemento “ 0”.

Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10} Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através deste simples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25,26,27....} Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são número inteiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = NZ.

Números Racionais

Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q).

Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária. Um exemplo simples:

Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5, temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata.

É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a divisão não é exata.

Um exemplo simples:

Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita 0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica.

Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros.

Número racional

A letra que representa os Números Racionais = Q

Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3}

O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “ 0”.

Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)}

Números Irracionais

Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente (dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números.

Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc.

Um número irracional famoso é o PI () = 3,141592...

O número de Euler = 2,71828 Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir)

Números Reais

Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e é indicado pela letra “R”.

Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número racional é real, temos a seguinte sentença:

N > Z > Q > R

Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se o conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}. Números Primos

Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.

Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:

1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos).

2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.

Como podemos provar que um número é primo ou não?

Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo.