PG

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q²
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹


Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈ = 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.


a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 3 * 1.162.261.467
a₂₀ = 3.486.784.401


Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.317,39.

PA

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a₁ = 5
a₂ = 5 + 2 = 7
a₃ = 7 + 2 = 9
a₄ = 9 + 2 = 11
a₅ = 11 + 2 = 13
a₆ = 13 + 2 = 15
a₇ = 15 + 2 = 17

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Termo Geral de uma P.A

Considere uma P.A finita qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) de razão igual a r, sabemos que:

a₂ – a₁ = r → a₂ = a₁ + r
a₃ – a₂ = r → a₃ – a₁ – r = r → a₃ = a₁ + 2r
a₄ – a₃ = r → a₄ – a₁ – 2r = r → a₄ = a₁ + 3r
…

a n = a₁ + (n – 1) . r

Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:

a n = a₁ + (n – 1) . r

Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a₁ = -10 e r = 3.

an = a₁ + (n – 1) . r
a₁₆ = -10 + (16 – 1) . 3
a₁₆ = -10 + 15 . 3
a₁₆ = -10 + 45
a₁₆ = 35

O 16º termo de uma P.A é 35.

Soma dos termos de uma P.A finita

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.

Sn = (a1 + an) . n
2

Exemplo 2:

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que
a ₈ = 79.

Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a ₈ = 79

Sn = (a1 + an) . n
2

324 = (a1 + 79) . 8
2

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.

a n = a₁ + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
7
r = 11

Matemática Aplicada

A matemática aplicada é um ramo da matemática que trata da aplicação do conhecimento matemático a outros domínios. Tais aplicações incluem cálculo numérico, matemática voltada a engenharia, programação linear, otimização, modelagem contínua, biomatemática e bioinformática, teoria da informação, teoria dos jogos, probabilidade e estatística, matemática financeira, criptografia, combinatória e até mesmo geometria finita até certo ponto, teoria de grafos como aplicada em análise de redes, e grande parte do que se chama ciência da computação.

A matemática voltada à engenharia descreve processos físicos, e portanto, é muito similar à física teórica. Subdivisões importantes incluem: dinâmica dos fluidos, teoria acústica, equações de Maxwell que governam o eletromagnetismo, mecânica etc.

Historicamente, a matemática era mais importante para as ciências naturais e engenharia. No entanto, desde a Segunda Guerra Mundial, campos fora das ciências físicas, geraram a criação de novas áreas de matemática, como teoria dos jogos e teoria da escolha social, e o conceito de redes neurais, que surgiram do estudo do cérebro em neurociência.

Boas questões

1) Efetue as adições:

a) 12,48 + 19 = b) 12,5 + 0,07 = c) 12,8 + 3,27 = d) 31,3 + 29,7 =
e) 107,03 + 32,7 = f) 83,92 + 16,08 = g) 275,04 + 129,3 = h) 94,28 + 36,571 =
i) 189,76 + 183,24 = j) 13,273 + 2,48 =

2) Efetue as subtrações:

a) 85,3 – 23,1 = b) 97,42 – 31,3 = c) 250,03 – 117,4 = d) 431,2 – 148,13 =
e) 400 – 23,72 = f) 1050,37 – 673,89 = g) 3 – 1,07 = h) 98 – 39,73 =
i) 43,87 – 17 = j) 193 – 15,03 =

3) Efetue as multiplicações:

a) 200 x 0,3 = b) 130 x 1,27 = c) 93,4 x 5 = d) 208,06 x 3,15 =
e) 0,3 x 0,7 = f) 112,21 x 3,12 = g) 12,1 x 4,3 = h) 243,5 x 2,53 =
i) 357 x 0,5 = j) 793 x 0,07 =

4) Efetue as divisões:

a) 3 : 2 = b) 21 : 2 = c) 7 : 50 = d) 9,6 : 3,2 =
e) 4064 : 3,2 = f) 1,5 : 2 = g) 4,8 : 30 = h) 1,776 : 4,8 =
i) 7,502 : 12,4 = j) 0,906 : 3 = k) 50,20 : 5 = l) 21,73 : 1,06 =
m) 35,28 : 9,8 =

5) Calcule as potências:

a) 106 x 102 = b) 10-12 x 103 = c) 2,3 . 1010 x 4.107 = d) 2,5 . 10-7 x 4 . 1012 =
e) 104 : 103 = f) 10-7 : 10-2 = g) 3,8 . 102 : 2 . 10-3 = h) 1,8 . 104 : 0,2 . 10-6 =

6) Encontre as raízes das seguintes equações:

a) 15 + x = 7 b) 3a23= c) x – 1 = 5x + 10 d) 5(x – 1) + 3(x + 1) = 30
e) 5 + 3(x+5) = x-1 f) 3(x + 3) –2(2x+3) = 8(x-3)
g) 4(x – 1)(x + 4) – (x + 2)(x + 4) = 3(x + 2)(x – 1)

7) Encontre as raízes das seguintes equações do 2º grau:
a) x2 + x –6 = 0
b) x2 + 2x + 5 = 0
c) -4x2 + 1 = 0
d) x2 – 7x = 0
e) x2 –2x = 0
f) x2 – 16 =0
g) x2 + 14x + 49 = 0
h) 3x2 + x – 14 = 0
i) 3x2 + 8x = 0
j) 15x2 – 6 = 0
k) x2 -2516 = 0

8) Izamar comprou seis caixas de lápis, contendo cada uma doze lápis iguais, pagando R$ 2,40 pela compra. Quanto pagará se comprar oito caixas iguais às primeiras?

9) Se trinta litros de um combustível custam R$ 16,95, quantos custarão oitenta litros do mesmo combustível?

10)Um automóvel faz 180 Km com 15 litros de álcool. Quantos litros de álcool esse automóvel gastaria para percorrer 210 Km?

11)Uma usina produz 350 litros de álcool com 5 toneladas de cana-de-açúcar. Quantos litros ela produzirá com 12.500 Kg de cana-de-açúcar? Para produzir 8.750 litros de álcool são necessárias quantas toneladas de cana-de-açúcar?

12)Uma padaria produz 400 pães com 10 Kg de farinha de trigo. Quantos pães ela produzirá com 12,5 Kg de farinha? Quantos quilogramas de farinha são necessários para a produção de 750 pães?

13) Para se construir uma roda dentada com uma determinada máquina, perdem-se 30 gramas de material. Depois de 10 dias utilizando essa mesma máquina, que produz 150 dentadas por dia, quantos quilogramas de material serão perdidos?

14) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

15) Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir?

16) Na extremidade de uma mola colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola?