Equação do 2º grau
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com 
Exemplos:
Equação | a | b | c |
x²+2x+1 | 1 | 2 | 1 |
5x-2x²-1 | -2 | 5 | -1 |
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquedo e chamamos de 
b²-4ac:
(2ax+b)²= 
2ax+b=
2ax=-b 
Logo:
Fórmula de Bháskara:
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Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
Substituindo na fórmula:
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
Note que 
Logo: 
Propriedades:
| Duas raízes reais e diferentes |
| Duas raízes reais e iguais |
| Nenhuma raiz real |
Relações entre coeficientes e raízes
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Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com 
A soma das raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
O produto das raízes será:
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo: 
Substituindo por 
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0 |
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a) 
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então: 
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}
b ) 
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então: 
Eliminando os denominadores:
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1 » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
Equação | a | b | c |
x² - (m+n)x + p = 0 | 1 | -(m+n) | p |
Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²
x = 2a e x = a » S={a,2a}
Resolução de equações biquadradas
Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
|
onde 
Exemplo resolvido:
1) 
Fazendo x² = y , temos 
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:
Logo, y = 4 e y`= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos:
x²=4 » 
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente 
.
, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.
, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).
, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.
